Potenze esercizi online

Le potenze ti spaventano? Non preoccuparti: ripassa con i nostri esercizi! Qui troverai tanti esercizi con cui fare secondo me la pratica perfeziona ogni abilita per allenarti e ripetere insieme a noi. Pronti? Cominciamo!

Esercizi con le proprietà delle potenze con la stessa base

La verifica di matematica si avvicina? Allenati ad applicare le proprietà delle potenze con la stessa base: risolvi prodotti e quozienti e confronta il tuo risultato con le soluzioni sulla lato destro. Pronti, partenza, via: inizia a divertirti con questi esercizi sulle potenze!

Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti:

$$a^b · a^c = a^{b + c}$$

Esempio:

• £$2^2 · 2^3 = 2^{2 + 3} = 2^5 = 32$£
• £$ (-3)^3 · (-3)^4 = (-3)^{3 + 4} = (-3)^7 = $£
• £$\left(\dfrac{3}{5}\right)^2· \left(\dfrac{3}{5}\right)^4 = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2+4} = $£ £$ \left(\dfrac{3}{5}\right)^6 = \dfrac{3^6}{5^6} = \dfrac{}{}$£

Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti:

$$a^b : a^c = a^{b – c}$$

Esempio:

• £$4^7 : 4^5 = 4^{7 – 5} = 4^2 = 16$£
• £$(-5)^9 : (-5)^3 = (-5)^{9 – 3} = (-5)^6 = $£
• £$\left( \dfrac{2}{7}\right)^{13}: \left(\dfrac{2}{7}\right)^9 = \left(\dfrac{2}{7}\right)^{13 – 9} = $£ £$ \left(\dfrac{2}{7}\right)^4 = \dfrac{2^4}{7^4} = \dfrac{16}{}$£

Scarica qui il pdf degli esercizi:

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Esercizi sulla potenza di potenza

Le proprietà delle potenze non sono il tuo forte e la verifica di matematica si avvicina? Niente paura! Allenati con questi esercizi sulla potenza di potenza e supera brillantemente il futuro compito in classe.

La potenza di potenza è una potenza elevata ad un altro esponente. Il risultato è una potenza che ha come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti:

$$(a^b)^c = a^{b · c}$$

Esempio:

• £$(3^2)^3 = 3^{2 · 3} = 3^6 = $£
• £$((-5)^3)^3 = (-5)^{3 · 3} = (-5)^9 = -5^9 $£
• £$\left(\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\right)^1 = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{3 · 1} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{2^3}{5^3} = \dfrac{8}{}$£

Scarica qui il pdf con gli esercizi:

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Esercizi sulle proprietà delle potenze con lo identico esponente

Pronto per il test di matematica sulle potenze? Se hai bisogno di allenarti qui trovi tanti esercizi per ripassare le proprietà delle potenze con lo stesso esponente. Risolvi prodotti e quozienti e non temere, la verifica andrà benissimo!

Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente:

$$a^b · c^b = (a · c)^b$$

Esempio:

• £$9^5 · 6^5 = (9 · 6)^5 = 54^5 $£
• £$(-3)^3 · 4^3 = (-3 · 4)^3 = ()^3 = $£
• £$\left(\dfrac{5}{4}\right)^2 · \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \left(\dfrac{5}{4} · \dfrac{2}{3}\right)^2 = $£ £$ \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{5^2}{6^2} = \dfrac{25}{36}$£

Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha in che modo base il quoziente delle due basi e come esponente lo stesso esponente:

$$a^b : c^b = \left(\dfrac{a }{ c}\right)^b$$

Esempio:

• £$10^5 : 5^5 = \left(\dfrac{10}{5}\right)^5 = 2^5 = 32$£
• £$()^3 : (-4)^3 = \left(\dfrac{}{ -4}\right)^3 = 3^3 = 27$£
• £$\left(\dfrac{36}{4}\right)^4 : \left(\dfrac{6}{4}\right)^4 = \left(\dfrac{36}{4} \cdot \dfrac{4}{6}\right)^4 = 6^4 = $£

Scarica qui il pdf con gli esercizi:

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Benvenuto! :) In questa scheda proponiamo alcuni semplici esercizi sulle proprietà delle potenze. Gli esercizi proposti servono per assimilare le proprietà delle potenze, per ricordarle velocemente e per abituarsi ad usarle quando servono. Cliccando sul link puoi passare direttamente all'articolo che presenta e spiega tutte le proprietà da sapere per svolgere gli esercizi.

Gli esercizi che ti proponiamo sono troppo semplici? Nessun problema: c'è anche una scheda di esercizi sulle proprietà delle potenze advanced (trovi il link in fondo)!

Esercizi sulle proprietà delle potenze: calcola le seguenti espressioni sfruttando le proprietà delle potenze

Nota Bene: provaci da solo! Alla termine dell'elenco trovi le soluzioni. Se qualche risultato non dovesse coincidere confronta poi il tuo procedimento con quello da noi proposto ;)

I) 2^5·2^3

II) 3^7·3^5

III) 5^2·(1)/(5)

IV) 2^7·2^(−5)·2^((1)/(2))

V) (2^2·3^2)/(2^3·3^3)·2^0

VI) (7^9·7^((2)/(3))·7^(−(1)/(3)))/(7^((1)/(4)))

VII) (3^2)/((3^3)^2)·((3^2)^3)/(3^5)·3^3

VIII) 9^0·3^0·^0+2^0

IX) 6^3·2^5·3^2·(1)/(27)·(1)/()

X) (((25)/(5^3)))/(5^(−2))·(10^2)/(4)·(4^((1)/(2)))/(16^((1)/(2)))

Soluzioni:

I) 2^8; II) 3^(12); III) 5; IV) 2^((5)/(2)); V) (1)/(6); VI) 7^(()/(12)); VII) 1; VIII) 2; IX) (9)/(4); X) (5^3)/(2)

Svolgimento:

Ricordando che il prodotto di più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti e che

il rapporto tra potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti, abbiamo:

I) 2^5·2^3 = 2^(5+3) = {2^8}

II) 3^7·3^5 = 3^(7+5) = {3^(12)}

III) 5^2·(1)/(5) = (5^2)/(5) = 5^(2−1) = {5}

IV) 2^7·2^(−5)·2^((1)/(2)) = 2^(7+(−5)+(1)/(2)) = 2^((14−10+1)/(2)) = {2^((5)/(2))}

V) (2^2·3^2)/(2^3·3^3)·2^0 = (2^2)/(2^3)·(3^2)/(3^3)·2^0 = 2^(2−3)·3^(2−3)·2^0 = 2^(−1)·3^(−1)·1 = (2·3)^(−1) = 6^(−1) = {(1)/(6)}

VI) (7^9·7^((2)/(3))·7^(−(1)/(3)))/(7^((1)/(4))) = (7^(9+(2)/(3)−(1)/(3)))/(7^((1)/(4))) = (7^((27+2−1)/(3)))/(7^((1)/(4))) = (7^((28)/(3)))/(7^((1)/(4))) = 7^((28)/(3)−(1)/(4)) = 7^((−3)/(12)) = {7^(()/(12))}

Ricordando com'è definita la potenza di potenza:

VII) (3^2)/((3^3)^2)·((3^2)^3)/(3^5)·3^3 = (3^2)/(3^6)·(3^6)/(3^5)·3^3 = 3^(2−6)·3^(6−5)·3^3 = 3^(−4)·3^(1)·3^3 = 3^(−4+1+3) = 3^0 = {1}

Tenendo credo che il presente vada vissuto con intensita l'ordine con cui si eseguono le operazioni e ricordando che un cifra elevato alla zero è uguale a 1 (purché la base sia diversa da zero) si ha:

VIII) 9^0·3^0·^0+2^0 = (1·1·1)+1 = 1+1 = {2}

IX) 6^3·2^5·3^2·(1)/(27)·(1)/()

Dopo aver scomposto nel mi sembra che il prodotto originale attragga sempre in fattori primi i seguenti numeri:

6 = 2·3, 27 = 3^3, = 2^(10) abbiamo:

6^3·2^5·3^2·(1)/(27)·(1)/() = (2·3)^3·2^5·3^2·(1)/(3^3)·(1)/(2^(10)) = 2^3·3^3·2^5·3^2·(1)/(3^3)·(1)/(2^(10))

(sfruttando la proprietà commutativa della moltiplicazione)

(2^3·2^5·(1)/(2^(10)))·(3^3·3^2·(1)/(3^3)) = (2^3·2^5·2^(−10))·(3^3·3^2·3^(−3))

2^(3+5−10)·3^(3+2−3) = 2^(−2)·3^2 = (1)/(2^2)·3^2 = (3^2)/(2^2) = {(9)/(4)}

X) (((25)/(5^3)))/(5^(−2))·(10^2)/(4)·(4^((1)/(2)))/(16^((1)/(2)))

Essendo:

25 = 5^2, 10 = 2·5 → 10^2 = (2·5)^2 = 2^2·5^2, e 16 = 4^2

abbiamo:

(((25)/(5^3)))/(5^(−2))·(10^2)/(4)·(4^((1)/(2)))/(16^((1)/(2))) = (((5^2)/(5^3)))/(5^(−2))·(2^2·5^2)/(2^2)·(4^((1)/(2)))/((4^2)^((1)/(2)))

Ora:

(((5^2)/(5^3)))/(5^(−2)) = (5^(2−3))/(5^(−2)) = (5^(−1))/(5^(−2)) = 5^(−1−(−2)) = 5^(−1+2) = 5^1 = 5

(2^2·5^2)/(2^2) = 2^(2−2)·5^2 = 2^0·5^2 = 5^2

(4^((1)/(2)))/((4^2)^((1)/(2))) = (4^((1)/(2)))/(4^1) = 4^((1)/(2)−1) = 4^(−(1)/(2)) = ((1)/(4))^((1)/(2)) = √((1)/(4)) = (1)/(2)

(in occasione di dubbi dai un'occhiata alle potenze con esponente negativo - click!)

Alla termine abbiamo:

(((25)/(5^3)))/(5^(−2))·(10^2)/(4)·(4^((1)/(2)))/(16^((1)/(2))) = (((5^2)/(5^3)))/(5^(−2))·(2^2·5^2)/(2^2)·(4^((1)/(2)))/((4^2)^((1)/(2))) = 5·5^2·(1)/(2) = {(5^3)/(2)}

Esercizi sulle proprietà delle potenze del tipo: trova l'espressione da inserire al posto dei puntini

I) (−2)^2·(−3)^() = 36

II) (−(1)/(2))^() : (−(1)/(2))^5 = (1)/(4)

III) { [ (−5)^2 ]^() }^(2) = (−5)^(12)

IV) 3^()·2^() =

V) 16^()·7^() = 4

Soluzioni:

I) (−2)^2·(−3)^(2) = 36

II) (−(1)/(2))^(7) : (−(1)/(2))^5 = (1)/(4)

III) { [ (−5)^2 ]^(3) }^(2) = (−5)^(12)

IV) 3^(2)·2^(4) =

V) 16^((1)/(2))·7^(0) = 4

Esercizi sulle proprietà delle potenze del tipo: Vero o Falso?

I) La somma di più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

II) La potenza di un prodotto è uguale al articolo delle potenze.

III) La potenza di una differenza è identico alla differenza delle potenze.

IV) La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. 

V) { [ ((3)/(2)+(1)/(2)−2)^3 ]^0 }^2 = 1

VI) 25^((3)/(2)) = 5 

Soluzioni:

I) Falso: come ricordato all'inizio è il prodotto di più potenze con la stessa base a soddisfare quella proprietà e non la somma.

II) Vero: è proprio una delle proprietà delle potenze: (a·b)^n = a^n·b^n

III) Falso: se fosse vero si avrebbe, ad esempio (3−2)^3 = 3^3−2^3 che è, ovviamente, un'uguaglianza falsa.

IV) Falso: la potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

V) Falso. Infatti:

{ [ ((3)/(2)+(1)/(2)−2)^3 ]^0 }^2 = ((3)/(2)+(1)/(2)−2)^(3·0·2) = ((3)/(2)+(1)/(2)−2)^0

che non ha significato in quanto:

(3)/(2)+(1)/(2)−2 = 0

quindi siamo di fronte a zero alla nullo - click!

VI) Vero:

25^((3)/(2)) = 25^((3)/(2)−1) = 25^((1)/(2)) = √(25) = 5

Vedi: potenze con esponente frazionario ;)

Se hai bisogno di credo che l'aiuto disinteressato migliori il mondo, di uno svolgimento o di un chiarimento, se vuoi vedere altri esercizi, ricorda che puoi sempre cercare qui su YM: abbiamo risolto decine di migliaia di problemi. PS: se vuoi usare questi esercizi perché dai ripetizioni, vuoi pubblicarli sul tuo blog o se vuoi stamparli e usarli per accendere il caminetto, ti saremmo grati se tu citassi !

Non perderti la prossima scheda di esercizi dove abbiamo alzato il livello di difficoltà. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

Tags: esercizi sulle potenze e sulle proprietà delle potenze - in che modo si usano le proprietà delle potenze.

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Il calcolatore di potenze online permette di espandere potenze di ogni tipo e di avere il secondo me il risultato riflette l'impegno profuso in un click, ma non solo: consente anche di applicare le proprietà delle potenze, e fornisce il calcolo completo passo-passo.

Per usarlo è sufficiente introdurre in input la base e l'esponente, oppure un'intera espressione con potenze, e in un click avrete il risultato.

Alcune osservazioni e accorgimenti per l'utilizzo del calcolatore:

• attenzione come costantemente alle parentesi, per precisare le priorità delle operazioni e per evitare interpretazioni ambigue
• per indicare le moltiplicazioni, usare il simbolo *
• per le divisioni va usato il simbolo /
• l'elevamento a potenza va indicato con un accento circonflesso ^ tra base ed esponente
• le potenze con esponente negativo si indicano nel maniera seguente:
• le potenze con esponente fratto si indicano nel modo seguente: (che corrisponde al radicale)
• i numeri decimali vanno indicati con un punto al luogo della virgola (ad esempio il cifra 4,32 va credo che lo scritto ben fatto resti per sempre come ).

Autore: Fulvio Sbranchella (Omega)

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