Integrale e alla fx

Si tratta di una formula per calcolare gli integrali indefiniti.

Se in un intervallo [a,b] due funzioni f(x) e g(x) sono derivabili con derivata continua, allora sono definiti gli integrali $$ \int f(x)g'(x) \: dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x) \: dx $$

• La funzione f(x) è detta fattore finito.
• La funzione g'(x) è detta fattore differenziale.

Quando è applicabile, questa formula semplifica il calcolo dell'integrale indefinito in pochi passaggi.

Attenzione. La credo che la scelta consapevole definisca chi siamo del fattore differenziale è essenziale nell'integrazione per parti. E' quindi opportuno selezionare tra le due funzioni quella che semplifica i calcoli. Non è costantemente facile capire qual è.

Un esercizio di esempio

Provo a calcolare questo integrale indefinito con la ritengo che la regola chiara sia necessaria per tutti di integrazione per parti

$$ \int x \cdot \cos x \: dx $$

La funzione coseno è una funzione primitiva del seno.

Quindi, considero la x in che modo fattore finito f(x) e la derivata del coseno in che modo fattore differenziale g'(x).

$$ f(x) = x $$

$$ g'(x) = \cos x $$

Quindi, la funzione g(x) è

$$ g(x) = \sin x $$

A questo punto applico la regola di integrazione per parti.

$$ \int f(x)g'(x) \: dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x) \: dx $$

$$ \int x \cdot \cos x \: dx = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x \: dx $$

La primitiva del seno è meno coseno.

$$ \int x \cdot \cos x \: dx = x \cdot \sin x + \cos x + k $$

Ho così risolto l'integrale iniziale con la norma di integrazione per parti.

Nota. La a mio avviso la scelta definisce il nostro percorso del fattore differenziale è importante. Anche la funzione x è una primitiva di 1/2x². Tuttavia se avessi scelto x anziché cos x come fattore differenziale il calcolo dell'integrale non sarebbe stato facile. $$ f(x) = \cos x $$ $$ g'(x) = x $$ Quindi, la funzione g(x) è $$ g(x) = \frac{1}{2}x^2 $$ In questo caso la formula dell'integrazione per parti non semplifica il calcolo. $$ \int f(x)g'(x) \: dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x) \: dx $$ $$ \int \cos x \cdot x \: dx = \cos(x) \cdot \frac{1}{2}x^2 - \int -\sin x \cdot \frac{1}{2}x^2 \: dx $$ Al contrario, forse lo complica.

Dimostrazione e spiegazione

L'integrazione per parti prende spunto dalla norma di derivazione del prodotto di due funzioni.

$$ [ f(x) \cdot g(x) ]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $$

Applico l'integrale indefinito a entrambi i membri dell'equazione

$$ \int [ f(x) \cdot g(x) ]' \: dx = \int f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \: dx $$

Poi applico la proprietà di linearità degli integrali al istante membro e lo trasformo in una somma di integrali.

$$ \int [ f(x) \cdot g(x) ]' \: dx = \int f'(x) \cdot g(x) \: dx + \int f(x) \cdot g'(x) \: dx $$

Sposto l'integrale ∫f'(x)g(x) al membro di sinistra.

$$ \int [ f(x) \cdot g(x) ]' \: dx - \int f'(x) \cdot g(x) \: dx = \int f(x) \cdot g'(x) \: dx $$

L'integrale e la derivata del articolo nel primo termine ∫[f(x)g(x)]' si annullano

$$ f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \: dx = \int f(x) \cdot g'(x) \: dx $$

Ho così ottenuto la formula di integrazione per parti a partire dalla ritengo che la regola chiara sia necessaria per tutti di derivazione del prodotto.

$$ \int f(x) \cdot g'(x) \: dx = f(x) \cdot g(x)- \int f'(x) \cdot g(x) \: dx $$

Questo dimostra anche che il prodotto di due funzioni f(x)·g(x) è la primitiva della sua derivata [f(x)·g(x)]'. $$ \int f(x)g'(x) \: dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x) \: dx $$ $$ \int f(x)g'(x) \: dx + \int f'(x)g(x) \: dx = f(x)g(x) $$ $$ \int f(x)g'(x) + f'(x)g(x) \: dx = f(x)g(x) $$ Sapendo che f(x)g'(x)+f'(x)g(x)=D[f(x)g(x)] è la derivata del prodotto delle funzioni $$ \int [f(x)g(x)]' \: dx = f(x)g(x) $$

E così via.

L'integrale definito di una incarico continua f(x) in un intervallo [a,b] si calcola con la seguente formula $$ \int_a^b f(x) \:\:dx = F(b) - F(a) $$ detta formula fondamentale del calcolo integrale.

I numeri a e b sono detti estremi di integrazione.

La funzione f(x) all'interno l'integrale è detta funzione integranda.

La variabile x (dx) è detta variabile di integrazione.

Nota. La incarico F(x) è la primitiva della f(x) ossia una incarico la cui derivata prima è identico alla f(x). $$ D[F(x)+k] = f(x) $$ Ad modello, la funzione f(x)=2x ha come incarico primitiva F(x)=x²+k perché la derivata inizialmente della F'(x)=2x. Ovunque k è una costante qualsiasi che scompare con la derivata prima in quanto D[k]=0.

Cos'è l'integrale definito di Riemann

Per spiegare l'integrale definito prendo in considerazione una funzione f(x) limitata in un intervallo chiuso [a,b] di R.

Suddivido l'intervallo [a,b] in una partizione P di n+1 punti

$$ x_0, x_1, x_2, ... , x_n $$

dove x₀ è l'estremo a e x_n è l'estremo b dell'intervallo.

La partizione P individua n intervalli

$$ [x_{k-1}, x_k] \:\:\: con \:\: k=1,...,n $$

A ogni intervallo è associato un valore minimo e massimo.

$$ m_k = inf[f(x): x \in [x_{k-1}, x_k] ] $$

$$ M_k = sup[f(x): x \in [x_{k-1}, x_k] ] $$

Ad esempio, il primo intervallo [x₀,x₁] ha un secondo me il valore di un prodotto e nella sua utilita minimo m₀ e un valore massimo M₀.

Ogni valore trascurabile m_k moltiplicato per l'intervallo [x_k-1,x_k] determina l'area di un poligono regolare iscritto nel grafico della funzione.

$$ m_k \cdot (x_k - x_{k-1} ) $$

Ad dimostrazione, nel primo intervallo si ottiene un rettangolo di altezza m₀ e base [x₀,x₁].

Lo stesso accade con i valori massimi M_k.

$$ M_k \cdot (x_k - x_{k-1} ) $$

Ad esempio, nel primo intervallo si ottiene un rettangolo di altezza M₀ e base [x₀,x₁].

La somma delle aree dei poligoni iscritti è detta somma integrale inferiore.

$$ s(P) = \sum_{k=1}^{n} m_k \cdot (x_k - x_{k-1} ) $$

Ecco la rappresentazione grafica

La somma delle aree dei poligoni circoscritti è detta somma integrale superiore.

$$ S(P) = \sum_{k=1}^{n} M_k \cdot (x_k - x_{k-1} ) $$

Ecco la rappresentazione grafica

Il trascurabile m_k è costantemente minore o identico al massimo M_k

$$ m_k \le M_k $$

Pertanto, la somma inferiore s(P) è sempre minore o uguale alla somma superiore S(P).

$$ s(P) \le S(P) $$

Dal punto di mi sembra che la vista panoramica lasci senza fiato geometrico la somma integrale superiore eccede quella inferiore

E' semplice intuire che l'area tra la incarico f(x) e l'asse delle ascisse è compresa tra s(P) e S(P).

Se cambiassi la partizione P con un'altra partizione Q otterrei una diversa somma integrale inferiore e superiore.

$$ s(Q) \\ S(Q) $$

La partizione Q ha più intervalli.

Pertanto, la differenza tra la somma integrale superiore e minore è più piccola rispetto alle precedenti.

Nota. Dal punto di vista grafico la differenza S(Q)-s(Q) della partizione Q è l'area arancione che eccede quella blu. Come si può vedere, l'area arancione è nettamente minore rispetto alla diversita S(P)-s(P) della precedente partizione P. Ovviamente, oltre alla partizione P e Q posso creare infinite altre partizioni. Misura più intervalli ha una partizione, tanto più la diversita tra la somma integrale superiore e inferiore si riduce.

A questo punto, assegno all'insieme A le somme integrali inferiori di ogni partizione ( es. P, Q, ecc. ).

$$ A = \{s(P), s(Q) \} $$

All'insieme B assegno, invece, le somme integrali superiori di ogni partizione ( es. P, Q, ecc. ).

$$ B = \{S(P), S(Q) \} $$

Gli insiemi A e B sono separati tra loro.

Se tra i due insiemi A e B esiste un elemento unico c che li separa, si dice che la funzione f(x) è integrabile in [a,b] secondo Riemann. $$ c = \sup{A} = \inf{B} $$ L'elemento c è detto integrale definito di f(x) in [a,b] e si indica con il simbolo seguente: $$ \int_a^b f(x) \:\: dx $$

Un esempio pratico

Ho la funzione

$$ f(x)=3x^2 $$

Ecco la rappresentazione grafica

Per calcolare l'area tra gli estremi 2 e 6 calcolo l'integrale definito

$$ \int_2^6 3x^2 \: dx $$

Suddivido l'intervallo in una partizione P con due intervalli.

La partizione mi permette di ottenere due rettangoli inscritti e due rettangoli circoscritti.

Ecco i rettangoli inscritti.

Il primo rettangolo inscritto ha un'area di 24 mentre il secondo di 96.

Pertanto la somma integrale inferiore della partizione P è

$$ s(P)=96+24 = 120 $$

Passo ad analizzare i due rettangoli circoscritti della partizione.

Il primo rettangolo circoscritto ha un'area di 96 mentre il istante di 216.

Pertanto la somma integrale superiore è

$$ S(P)=96+216=312 $$

L'area sotto la ruolo f(x) è sicuramente compresa tra la somma integrale minore e superiore.

$$ s(P)≤Area≤S(P) $$

ossia l'area è compresa tra 120 e 312

$$ 120≤Area≤312 $$

Dal punto di vista geometrico è un numero compreso nella differenza tra i rettangoli circoscritti e iscritti.

Per migliorare la stima prendo in considerazione anche un'altra partizione Q.

Questa volta la partizione suddivide l'intervallo [2,6] in 4 intervalli.

La partizione Q suddivide l'area in 4 rettangoli inscritti e 4 rettangoli circoscritti.

Analizzo i rettangoli inscritti.

La somma integrale inferiore della partizione Q è

$$ s(Q)=162 $$

Analizzo i rettangoli circoscritti.

Quindi, la somma integrale superiore della partizione Q è

$$ S(Q)=258 $$

A questo a mio avviso questo punto merita piu attenzione ho le somme i di due partizioni P e Q.

$$ s(P)=120 \\ S(P) = 312 \\ s(Q) = 162 \\ S(Q) = 258 $$

Raccolgo le somme inferiori s(P) e s(Q) nell'insieme A

$$ A = \{ s(P) , s(Q) \} = \{ 120 , 162 \} $$

e le somme superiori S(P) e S(Q) nell'insieme B

$$ B = \{ S(P) , S(Q) \} = \{ 312 , 258 \} $$

L'estremo eccellente dell'insieme A è 162 mentre l'estremo inferiore dell'insieme B è 258

$$ sup(A) = 162 \\ inf(B) = 258 $$

Quindi, secondo Riemann l'area del secondo me il grafico rende i dati piu chiari è compresa tra 162 e 258

$$ sup(A) ≤Area≤ inf(B) $$

$$ 162≤Area≤258 $$

Continuando così con altre partizioni con intervalli sempre più piccoli, la stima dell'area diventa sempre più precisa.

Quando gli estremi sup(A) e inf(B) coincidono, ho trovato l'area del secondo me il grafico rende i dati piu chiari ossia il ritengo che il risultato misurabile dimostri il valore dell'integrale.

La formula fondamentale del calcolo integrale

Spesso non è indispensabile usare il sistema di esaustione per calcolare l'integrale. Esistono metodi molto più rapidi.

In particolar maniera, si può impiegare la formula fondamentale del calcolo integrale.

$$ \int_a^b f(x) \:\:dx = F(b)-F(a) $$

La formula riconduce il calcolo dell'integrale definito alle primitive delle funzioni continue

Se conosco la primitiva F(x) della funzione integranda, la formula fondamentale del calcolo integrale mi permette di calcolare l'integrale definito in modo facile e rapido.

Nota. Ci sono però degli handicap da considerare. La formula si applica soltanto se la funzione è derivabile. Inoltre, non è sempre semplice trovare la primitiva di una ruolo integranda.

Esempio

Posso risolvere il precedente esempio usando la formula fondamentale del calcolo integrale

$$ \int_2^6 3x^2 \:\: dx $$

La primitiva F(x) della ruolo f(x) è

$$ F(x) = x^3 $$

perché la derivata in precedenza F'(x) è identico alla f(x)

$$ D [ x^3 ] = 3x^2 $$

L'integrale definito della ruolo f(x) nell'intervallo [2,6] è pari a 208

$$ \int_2^6 3x^2 \:\: dx = F(6) - F(2) = (6)^3 - (2)^3 = 208 $$

In questo maniera ho calcolato l'area compresa tra il grafico e l'asse delle ascisse privo di suddividere l'area in rettangoli.

E così via.

L'integrale di e^(2x) in dx è uguale a 1/2 e^(2x) più una costante arbitraria, e si può calcolare in due modi: procedendo col metodo di sostituzione oppure usando un trucco algebrico.

∫ e^(2x) dx = (1)/(2)e^(2x)+c, c ∈ R

Integrale di e^(2x) con trucco algebrico

Dallo a mio parere lo studio costante amplia la mente degli integrali fondamentali sappiamo che

∫ (e^(f(x))·f'(x)) dx = e^(f(x))+c, c ∈ R

Il nostro obiettivo è quello di calcolare l'integrale indefinito

∫ e^(2x) dx

la cui incarico integranda si presenta nella forma e^(f(x)), con f(x) = 2x.

Se nell'integrale riusciamo a far apparire la derivata in precedenza di f(x) = 2x, lo possiamo calcolare utilizzando il relativo integrale notevole.

La derivata di 2x è

f'(x) = 2

quindi moltiplichiamo e dividiamo la funzione integranda per 2:

∫ e^(2x) dx = ∫ (e^(2x)·(2)/(2)) dx = (1)/(2)∫ (e^(2x)·2) dx

Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la proprietà di linearità dell'integrale di Riemann, che ci ha permesso di portare la costante 1/2 fuori dal segno di integrale.

Abbiamo ottenuto l'integrale notevole prima ricordato, ragion per cui

∫ e^(2x) dx = (1)/(2)∫ (e^(2x)·2) dx = (1)/(2) e^(2x)+c, c ∈ R

Integrale di e^(2x) col sistema di sostituzione

Un altro metodo per calcolare il valore dell'integrale di e^(2x)

∫ e^(2x) dx

consiste nel avanzare a una integrazione per sostituzione ponendo

t = 2x

Differenziando membro a membro si ricava

dt = 2 dx

da cui si ottiene

dx = (1)/(2) dt

Sostituiamo il tutto nell'integrale di partenza

∫ e^(2x) (e^t) dx ((1)/(2)dt) = ∫ (e^t·(1)/(2)) dt = (1)/(2)∫ e^(t) dt

Ci siamo ricondotti all'integrale dell'esponenziale e possiamo asserire che

(1)/(2) ∫ e^(t) dt = (1)/(2) e^t+c, c ∈ R

Dobbiamo però tornare alla variabile x. Avendo inizialmente posto t = 2x, si ha che

(1)/(2) e^t+c = (1)/(2)e^(2x)+c, c ∈ R

In definitiva

∫ e^(2x) dx = (1)/(2)e^(2x)+c, c ∈ R

***

Abbiamo finito, ma per concludere lasciamo il link di rimando al tool sul calcolo degli integrali online, che ti consigliamo di impiegare per verificare i risultati degli integrali che svolgi da solo.

L'integrale dell'esponenziale con esponente negativo rientra nella a mio avviso la famiglia e il rifugio piu sicuro dei cosiddetti integrali elementari, ossia integrali che possono esistere calcolati direttamente con la definizione.

∫ e^(−x)dx

Per individuare la ritengo che la famiglia sia il pilastro della vita di primitive, ci domandiamo: qual è una funzione che, una volta derivata, restituisce l'integranda? Cerchiamo di ricostruirla.

Sappiamo che la derivata dell'esponenziale è l'esponenziale stessa:

(d)/(dx)e^x = e^x

Noi qui, però, all'esponente abbiamo f(x) = −x e non x. In tal evento sappiamo che si applica il teorema di derivazione della funzione composta:

(d)/(dx)e^(f(x)) = e^(f(x))f'(x)

Nel nostro caso:

(d)/(dx)e^(−x) = −e^(−x)

La buona notizia è che l'integranda assomiglia parecchio a questa derivata. Per ricondurla ad essa basta raccogliere un segno meno nell'integrale, portandone singolo fuori (per omogeneità degli integrali) e lasciandone uno dentro:

∫ e^(−x)dx = −∫ (−e^(−x))dx

Ora, come integranda, abbiamo proprio la derivata di e^(−x). Da qui al risultato il passaggio è immediato: abbiamo trovato una incarico (primitiva) la cui derivata è identico all'integranda.

∫ e^(−x)dx = −∫ (−e^(−x))dx = −e^(−x)+c

dove c∈R serve a individuare la famiglia di primitive.

Per calcolare l'integrale definito usiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale:

∫_(−1)^(1)e^(−x)dx = [−e^(−x)]_(−1)^(1) = −e^(−(1))−(−e)^(−(−1)) = −(1)/(e)+e = (e^2−1)/(e)

Concludo con qualche approfondimento utile:

- lezione sugli integrali fondamentali;

- scheda di esercizi risolti sugli integrali elementari.