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Problemi geometria triangoli prima media

Problemi svolti sul triangolo

In questa scheda vi proponiamo una raccolta di problemi sul triangolo, interamente risolti e spiegati sottile all'ultimo passaggio. Le tracce si rivolgono agli studenti di Scuola Media, a quelli delle Scuole Superiori e a chiunque voglia realizzare un ripasso.

Gli esercizi coinvolgono i triangoli qualsiasi e presuppongono di conoscere le definizioni, le proprietà e le formule del triangolo, che abbiamo presentato in dettaglio nel formulario correlato.

Precisiamo che qui non troverete problemi su triangoli particolari; a questo proposito ci sono altre tre schede, interamente dedicate a:

Indice

  1. Problemi risolti sul triangolo
  2. Svolgimenti e soluzioni
  3. Approfondimenti

Problemi risolti sul triangolo

In tutto ci sono 15 esercizi sul triangolo qualsiasi, di cui i primi 3 sono di teoria e i restanti 12 sono problemi di calcolo. Per risolverli è necessario sapere le formule dirette e inverse per il calcolo di area e perimetro, nonché le varie proprietà del triangolo.

Sottolineiamo che per svolgere gli esercizi sono richieste alcune nozioni di Aritmetica note già dagli studi delle Scuole Medie, come ad modello il metodo secondo me il grafico rende i dati piu chiari per il problemi con somma e differenza (e successivi). Le stesse tracce possono essere risolte anche con metodi più avanzati, ad esempio con le equazioni.

Per non farvi mancare nulla, di volta in tempo mostreremo come giungere alla soluzione applicando ciascuno dei possibili metodi. ;)

  1. Completa le seguenti affermazioni sui triangoli.

    • Affinché un triangolo esista è indispensabile che la misura di un fianco sia ... della somma delle misure degli altri lati.
    • La somma degli angoli esterni di un triangolo è pari ad un ...
    • La somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un ...

    Indica quali delle seguenti terne di angoli rappresentano gli angoli di un triangolo, giustificando le scelte:

    • 50°, 60°, 70°
    • 30°, 60°, 80°
    • 105°, 25°, 50°
    • 112°, 34°, 34°
  2. Dire se le seguenti affermazioni sui triangoli sono vere oppure false, giustificando le risposte.
    • Un triangolo può possedere due angoli retti.
    • La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.
    • La somma degli angoli esterni di un triangolo è 180°.
    • Il triangolo è una sagoma rigida.
    • L'area di un triangolo si calcola moltiplicando le misure di base e altezza.
    • La bisettrice relativa a un angolazione interno di un triangolo divide il lato opposto in due parti uguali.
    • L'ortocentro è il dettaglio di incontro degli assi di un triangolo.
    • In un triangolo la somma delle misure di due lati è superiore della misura del terzo lato.
  3. Rispondi alle seguente domande sulla possibile costruzione di un triangolo da lati e angoli e giustifica le risposte.
    • È possibile che un triangolo abbia il perimetro esteso 28 cm e un lato esteso 15 cm?
    • È realizzabile costruire un triangolo avente un fianco lungo 12 cm, uno lungo 8 cm e il perimetro 30 cm?
    • È possibile costruire un triangolo con due angoli ottusi?
    • È realizzabile costruire un triangolo con gli angoli interni ampi 50°, 89° e 41°?
  4. La base di un triangolo misura 24 cm ed è i 4/5 dell'altezza. Calcola l'area del triangolo.
  5. I lati di un triangolo scaleno misurano 13 cm, 14 cm e 15 cm. Calcola il perimetro e l'area del triangolo.
  6. Il perimetro di un triangolo è di 224 metri e due lati misurano rispettivamente 60 metri e 73 metri. Calcola l'area del triangolo e la misura dell'altezza relativa al lato maggiore.
  7. Un lato di un triangolo è esteso 10,5 cm e l'altezza a esso relativa è di 4 cm. Calcola l'area e le misure delle altre due altezze sapendo che gli altri due lati misurano 5 cm e 8,5 cm.
  8. Disegna un triangolo di vertici A,B,C e indica con α, β, γ gli angoli interni di vertici A,B,C rispettivamente. L'angolo α è ampio 72°. Che ampiezze hanno gli altri due angoli se β è il doppio di γ?
  9. La somma e la differenza delle misure di due angoli di un triangolo sono rispettivamente 120° e 10°. Calcola le misure dei tre angoli interni del triangolo.
  10. Siano α, β, γ gli angoli interni di un triangolo. Singolo degli angoli esterni relativi all'angolo α è ampio 100° e β è il triplo di γ. Calcola le misure delle ampiezze degli angoli α, β, γ.
  11. La somma delle lunghezze della base e dell'altezza di un triangolo è 38 cm e la loro differenza è 6 cm. Determinare l'area del triangolo.
  12. La somma e la diversita delle misure di due lati di un triangolo sono rispettivamente 80 cm e 50 cm . Calcola il perimetro del triangolo sapendo che il terzo lato supera di 5 cm il maggiore dei primi due.
  13. In un triangolo la somma e la diversita di due lati misurano rispettivamente 13,3 cm e 1,3 cm. Sapendo che il perimetro è di 22,4 cm calcola l'area del triangolo e le misure delle altezze relative ai lati maggiore e minore.
  14. Gli angoli interni di un triangolo stanno fra loro in che modo 3, 4, 5. Calcola la misura di ciascuno di questi angoli.
  15. Calcola la misura dell'altezza relativa al lato minore di un triangolo sapendo che il suo perimetro è di 51,6 cm e che i tre lati sono inversamente proporzionali ai numeri 1/26, 1/29, 1/31.

Svolgimenti e soluzioni

  1. Domande di teoria sui triangoli
  2. Test vero o falso sui triangoli
  3. Quesiti sulla costruzione di un triangolo da lati e angoli
  4. Problema sull'area di un triangolo con frazione
  5. Perimetro e area di un triangolo scaleno dalle misure dei lati
  6. Area e altezza relativa al fianco maggiore di un triangolo
  7. Calcolare le altezze di un triangolo
  8. Problema sul calcolo delle ampiezze degli angoli di un triangolo
  9. Problema sugli angoli di un triangolo con somma e differenza
  10. Ampiezze degli angoli interni di un triangolo da un angolazione esterno
  11. Calcolare l'area di un triangolo da somma e diversita di base e altezza
  12. Perimetro di un triangolo con somma e differenza di due lati
  13. Area e altezze di un triangolo da somma e differenza di due lati
  14. Ampiezze degli angoli di un triangolo in un problema di ripartizione semplice
  15. Problema su altezza di un triangolo con le proporzioni

Approfondimenti

Se volete fare un ripasso specifico, potete anche leggere:

Buon lavoro!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: esercizi e problemi svolti sul triangolo.

Ultima modifica:

Problemi Geometria – area del triangolo 1

Per trovare l’area di un triangolo devi fare:

base x altezza / 2

Perché il triangolo è la metà di un rettangolo che ha la stessa base e la stessa altezza.

1)  In un triangolo l’altezza misura 12,5 cm e la base è i 2/5 di essa. Calcola l’area del triangolo.

  1. a) Fai la figura (Attenzione! Se la base è i 2/5 dell’altezza, la base è divisa in 2 e l’altezza in 5 parti!)
  2. b) Scrivi i dati
  3. c) Trova quanto vale un segmentino (i 12,5 cm sono sistemati in 5 segmentini uguali)
  4. d) Trova la misura della base
  5. e) Trova l’area

2)  Calcola l’area di un triangolo sapendo che la base misura 70 cm e l’altezza è i 5/7 di essa.

  1. a) Fai la figura (Attenzione alla frazione! 5/7 àAltezza = 5, Base = 7)
  2. b) Scrivi i dati
  3. c) Trova quanto vale un segmentino
  4. d) Trova la misura dell’altezza
  5. e) Trova l’area

3)  In un triangolo l’altezza misura 75 cm ed è i 15/8 della base. Calcola l’area.

  1. a) Fai la figura (Attenzione alla frazione!)
  2. b) Scrivi i dati
  3. c) Trova misura vale un segmentino
  4. d) Trova la misura della base
  5. e) Trova l’area

4)  In un triangolo la somma della base e dell’altezza misura 36 cm e la base è i 5/4 dell’altezza.

  1. a) Fai la figura (Attenzione alla frazione!)
  2. b) Scrivi i dati
  3. c) Trova quanto vale un segmentino (i 36 cm sono sistemati in 9 segmenti uguali)
  4. d) Trova la misura della base
  5. e) Trova la misura dell’altezza
  6. f) Trova l’area

5)  In un triangolo la somma della base e dell’altezza misura 45 cm e la base è i 2/7 dell’altezza. Trova l’area.

  1. a) Fai la sagoma ( Attenzione alla frazione!)
  2. b) Scrivi i dati
  3. c) Trova misura vale un segmentino
  4. d) Trova la misura della base
  5. e) Trova la misura dell’altezza
  6. f) Trova l’area

Problemi svolti su segmenti e punti notevoli del triangolo

In questa qui scheda vi proponiamo una selezione di problemi sui segmenti notevoli e sui punti notevoli del triangolo: altezza, mediana, bisettrice, asse, ortocentro, incentro, baricentro, circocentro.

Le tracce sono tutte risolte, commentate passaggio per passaggio e si rivolgono agli studenti delle Scuole Medie e delle Scuole Superiori.

Se volete ripassare definizioni e proprietà, vi raccomandiamo di leggere le lezioni su:

Indice

  1. Problemi risolti su segmenti e punti notevoli del triangolo
  2. Svolgimenti e soluzioni

Problemi risolti su segmenti notevoli e punti notevoli di un triangolo

Gli esercizi sono pensati principalmente per gli studenti di Scuola Media e per tutti coloro che vogliono creare un ripasso. I primi tre sono di tipo teorico.

Attenzione: qui non trattiamo i problemi di tipo dimostrativo, tipici della Geometria Euclidea, bensì problemi di calcolo che rientrano nel contesto della Geometria Piana.

  1. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere altrimenti false, giustificando le risposte.

    • Il baricentro di un triangolo è sempre esterno al triangolo.
    • Il circocentro di un triangolo ottusangolo è esterno al triangolo.
    • L'ortocentro di un triangolo rettangolo è il punto medio dell'ipotenusa.
    • L'ortocentro di un triangolo isoscele non può essere fuori al triangolo.
    • Il circocentro di un triangolo è equidistante dai suoi vertici.
    • Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, di cui quella che contiene il vertice è la metà dell'altra.
    • Il circocentro di un triangolo rettangolo coincide con il vertice dell'angolo retto.

  2. Scrivi le parole mancanti al luogo dei puntini.

    • In un triangolo l'altezza relativa a un suo lato è il segmento che sezione dal vertice ... e che è ... al fianco stesso.
    • Ogni triangolo ha ... altezze, che si incontrano in un punto detto ...
    • Le altezze relative agli angoli acuti di un triangolo rettangolo coincidono con i suoi ... e l'ortocentro coincide con ...
    • In un triangolo equilatero le altezze sono ...
    • In un triangolo ottusangolo l'ortocentro è ...
    • Se l'ortocentro è dentro al triangolo, allora il triangolo è ...

  3. Completa le seguenti frasi.

    • Il circocentro è il punto di incontro ... ; ha questo appellativo perché ...
    • La mediana di un triangolo relativa a un lato è ...
    • L'ortocentro di un triangolo rettangolo si trova ...
    • L'altezza di un triangolo relativa a un lato è ...
    • L'incentro è il punto di riunione ... ; ha questo nome perché ...
    • La bisettrice di un triangolo relativa a un angolazione è ...
  4. Disegna un triangolo qualsiasi e con l'aiuto di una riga e di un compasso trova il suo incentro e il suo circocentro.
  5. Disegna un triangolo qualsiasi di vertici A,B,C e traccia la mediana AM relativa al lato BC. Calcola il perimetro del triangolo sapendo che il lato AB è il triplo del lato AC, che MC misura 3 cm e che AC = BM−0,1 cm.
  6. Disegna un triangolo isoscele di vertici R, S, T e base ST e sia C il suo circocentro. Calcola le ampiezze degli angoli interni del triangolo CST sapendo che l'angolo interno di vertice R è ampio 42°. Che tipo di triangolo è CST?

  7. Siano AN, BL, CM le tre mediane di un triangolo qualunque di vertici A, B, C e sia G il baricentro. Calcola le lunghezze delle tre mediane sapendo che:

    GN = 9,4 cm ; GL = 5,8 cm ; GM = 4,6 cm

  8. Calcola le lunghezze delle mediane di un qualunque triangolo di vertici A,B,C sapendo che le distanze del baricentro G dai vertici A,B,C misurano rispettivamente:

    AG = 6,8 cm ; BG = 5,7 cm ; CG = 4,3 cm

  9. Disegna un triangolo acutangolo ABC e il suo incentro I. Calcola le ampiezze degli angoli interni del triangolo sapendo che gli angoli BAI e ABI sono ampi rispettivamente 36° e 24°.
  10. Disegna un triangolo isoscele di lati obliqui AB e AC e trova il suo incentro I. Calcola l'ampiezza dell'angolo BIC sapendo che BAC = 40°.
  11. Disegna un triangolo ottusangolo e traccia le sue bisettrici. Ciascuna bisettrice divide il triangolo in due triangoli, di cui devi calcolare le ampiezze degli angoli interni sapendo che gli angoli acuti del triangolo di partenza sono ampi rispettivamente 42° e 38°.
  12. La somma e la differenza delle misure di un cateto e della mediana relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo sono rispettivamente 52 cm e 12 cm. Calcola la misura dell'ipotenusa e dell'altro cateto.
  13. L'area del triangolo ABC, rettangolo in A, è 216 cm2 e il cateto minore AB è i (3)/(4) del cateto maggiore AC. Calcola il perimetro del triangolo e la lunghezza della bisettrice BD dell'angolo interno di vertice B.
  14. In un triangolo rettangolo DEF retto in E disegna il suo circocentro C. Calcola i perimetri dei triangoli CDE e CEF sapendo che la somma e la differenza dei cateti del triangolo DEF misurano rispettivamente 14 cm e 2 cm.
  15. Un triangolo ha il perimetro di 120 cm e la bisettrice di uno degli angoli interni divide il lato opposto in due parti lunghe rispettivamente 30 cm e 20 cm. Calcola le misure dei lati del triangolo.

Svolgimenti e soluzioni

  1. Vero o falso sui punti notevoli di un triangolo
  2. Ortocentro e altezze relative ai lati di un triangolo
  3. Completare alcune affermazioni su segmenti e punti notevoli di un triangolo
  4. Trovare il circocentro e l'incentro di un triangolo con riga e compasso
  5. Perimetro di un triangolo da alcune relazioni con una mediana
  6. Problema con triangolo isoscele e circocentro
  7. Problema sulle lunghezze delle mediane di un triangolo
  8. Lunghezze delle mediane di un triangolo note le distanze dei vertici dal baricentro
  9. Ampiezze degli angoli interni di un triangolo con incentro
  10. Ampiezza di un angolazione che ha per vertice l'incentro di un triangolo isoscele
  11. Problema con triangolo ottusangolo e bisettrici
  12. Ipotenusa e cateto di un triangolo rettangolo da altro cateto e mediana
  13. Perimetro e lunghezza della bisettrice in un triangolo
  14. Problema di Geometria sul triangolo rettangolo con il circocentro
  15. Problema di Geometria Piana con il teorema delle bisettrici

Buon lavoro!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: problemi ed esercizi su ortocentro, baricentro, incentro, circocentro - Problemi ed esercizi su altezza, mediana, bisettrice e asse del triangolo.

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PROBLEMI CON I TRIANGOLI RETTANGOLI

Vi propongo alcuni dei problemi che abbiamo risolto in questi giorni con i miei ragazzi, che mi avevano richiesto alcuni esercizi “base” per applicare il teorema di Pitagora. Alcuni sono ancora sul teorema di Pitagora.

PROBLEMI CON I TRIANGOLI RETTANGOLI: il teorema di Pitagora

in un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree
dei quadrati costruiti sui cateti :

a²= b² + c²

PROBLEMI CON I TRIANGOLI RETTANGOLI: esercizi facili

E adesso passiamo agli esercizi. Nel pdf allegato trovate la versione stampabile. Con e senza le soluzioni

ESERCIZI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

ESERCIZI SUI TRIANGOLI soluzioni

PROBLEMA 1

I due cateti di un triangolo rettangolo misurano 5 m e 12 m. Misura misura l’ipotenusa? (R: 13 m)

PROBLEMA 2

I due cateti di un triangolo rettangolo misurano 8 dm e 15 dm. Quanto misura il perimetro del triangolo?

PROBLEMA 3

Le lunghezze di un cateto e dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo sono rispettivamente 6 dm e 10 dm.
Quanto misura l’altro cateto?

PROBLEMA 4

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 13 cm e un cateto 5 cm. Calcola la lunghezza dell’altro cateto.

PROBLEMA  5

Le lunghezze di un cateto e dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo sono rispettivamente 40 mm e 50 mm. Quanto misura l’altro cateto?

PROBLEMA 6

Un triangolo rettangolo ha l’area di 240 cm² e il cateto minore esteso 16 cm .Calcola il perimetro del triangolo.

PROBLEMA 7

L’ipotenusa e il cateto minore di un triangolo rettangolo sono lunghi rispettivamente 17,5 cm e 10,5 cm. Calcola l’area del triangolo.

 PROBLEMA 8

I due cateti di un triangolo rettangolo sono 14 m e 48 m. Calcola l’ipotenusa.

PROBLEMI CON I TRIANGOLI RETTANGOLI: esercizi più difficili

PROBLEMA 9

La somma di due cateti è 142 cm e la loro differenza è 98 cm. Calcola la misura del perimetro e dell’area.

PROBLEMA 10

Calcola il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo sapendo che il cateto minore misura 12 cm e il cateto superiore è i 4/3 del minore.

PROBLEMA 11

Uno dei cateti di un triangolo rettangolo è i 4/3  dell’altro. Sapendo che la sua area misura 216 cm², calcola il perimetro del triangolo.

PROBLEMA 12

Calcola la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa in un triangolo rettangolo avente i cateti di 15 dm e 20 dm.

PROBLEMA  13

In un triangolo rettangolo un cateto è i 3/4 dell’altro e l’ipotenusa misura 40 cm. Calcola il perimetro del triangolo.

PROBLEMA  14

Un triangolo rettangolo con gli angoli di 45° ha l’ipotenusa lunga 21,21 cm. Calcola il perimetro.

PROBLEMA 15  

In un triangolo rettangolo con un angolo di 30°, l’ipotenusa è lunga 42 dm. Calcola l’area del triangolo.

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