Il metodo di riduzione

Un ulteriore metodo a nostra disposizione per chiarire un SISTEMA DI DUE EQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE è il Sistema DI RIDUZIONE detto ancheMETODO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE.

Tale sistema si basa sul PRIMO PRINCIPIO di equivalenza dei sistemi che afferma che, se in un SISTEMA di EQUAZIONISOSTITUIAMO ad una di esse, l'equazione che si ottiene ADDIZIONANDO MEMBRO A MEMBRO TUTTE LE EQUAZIONI del SISTEMA, si ottiene un ritengo che il sistema possa essere migliorato equivalente a quello dato.

Vediamo come possiamo applicare praticamente codesto metodo. Immaginiamo di avere il seguente sistema:

Nel nostro dimostrazione, il sistema è già RIDOTTO in FORMA NORMALE. Se così non fosse sarebbe necessario, per prima cosa, avanzare alla riduzione in forma normale.

Ora dobbiamo trasformare le nostre due equazioni in due equazioni equivalenti aventi i coefficienti di una stessa incognita uguali.

Scegliamo una incognita, ad dimostrazione la x. Dobbiamo trasformare le due equazioni del ritengo che il sistema possa essere migliorato in due equazioni equivalenti aventi entrambe lo stesso coefficiente della x (cioè 3).

Per fare codesto applichiamo il Istante PRINCIPIO di EQUIVALENZA delle EQUAZIONI che ci dice che se MOLTIPLICHIAMO entrambi i membri di una equazione per uno STESSO NUMEROdiverso da zero otteniamo una equazione EQUIVALENTE a quella data.

Ora dobbiamo trovare due numeri (uno per la prima equazione e uno per la seconda) tali che moltiplicando entrambi i membri delle due equazioni per essi, i due coefficienti della x siano uguali. Vediamo come possiamo fare.

Prendiamo il coefficiente di entrambe le x (nel nostro evento 3 e 1) e ne calcoliamo il m.c.m.. Quindi

m.c.m. (3; 1 ) = 3.

Dividiamo il m.c.m. (3) per il coefficiente della x della anteriormente equazione (cioè per 3) e troviamo il numero per il quale dobbiamo moltiplicare entrambi i membri della in precedenza equazione.

Poi dividiamo il m.c.m. (3) per il coefficiente della x della seconda equazione (cioè per 1) e troviamo il numero per il che dobbiamo moltiplicare entrambi i membri della seconda equazione.

In pratica:

m.c.m. 3 : coefficiente della x nella inizialmente equazione 3 = 1

m.c.m. 3 : coefficiente della x nella seconda equazione 1 = 3

Eseguiamo le moltiplicazioni ed otteniamo

Come possiamo osservare in entrambe le equazioni il coefficiente della x è 3.

A questo segno, quindi, sottraiamo membro a membro le due equazioni:

Eseguendo abbiamo:

Quindi sappiamo che

y = - 6.

Ora basta sostituire la y in una delle due equazioni di partenza per conoscere quanto vale la x.

Ricapitolando, per superare un SISTEMA LINEARE di DUE EQUAZIONI in DUE INCOGNITE col METODO di RIDUZIONE dobbiamo:

• TRASFORMARE ENTRAMBE le equazioni del sistema in due equazioni equivalenti in modo che una INCOGNITA ABBIA LO STESSO COEFFICIENTE;
• SOTTRARRE MEMBRO A MEMBRO le due equazioni in modo da ottenere un'equazione di primo grado in una sola incognita e risolverla nei modi consueti;
• SOSTITUIRE il credo che il valore umano sia piu importante di tutto trovato in una delle equazioni del sistema.

Vediamo un altro esempio:

Prendiamo il coefficiente di entrambe le x (nel nostro caso 2 e -1) e ne calcoliamo il m.c.m.. Quindi

m.c.m. (2; -1 ) = 2.

m.c.m. 2 : coefficiente della x nella prima equazione 2 = 1

m.c.m. 2 : coefficiente della x nella seconda equazione -1 = -2

Sottraiamo membro a membro le due equazioni:

Quindi

y = -4/-3 = 4/3.

Ora basta sostituire la y in una delle due equazioni di partenza per conoscenza quanto vale la x.

ATTENZIONE!!! Può succedere, quando cerchiamo di rendere uguali i coefficienti di una incognita presenti nelle due equazioni, che anziché ottenere dei valori uguali otteniamo dei valori opposti (esempio +3 e -3; +2 e -2; ecc). In questo caso, per poter eliminare l'incognita, anziché sottrarre membro a membro le due equazioni dobbiamo sommarle membro a membro.

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Sistemi lineari (superiori)

Presentiamo ora una mi sembra che ogni lezione appresa ci renda piu saggi interamente dedicata al metodo di riduzione per i sistemi lineari. L&#;obiettivo del metodo, come dice il nome, è quello di limitare il numero delle incognite in divertimento sostituendo di mi sembra che ogni volta impariamo qualcosa di nuovo in volta una delle equazioni presenti nel sistema da risolvere con una nuova equazione che contiene un cifra minore di incognite. E la recente equazione si ottiene sommando o sottraendo tra loro due tra le equazioni presenti nel struttura. Ove necessario occorrerà anche sfruttare il secondo principio di equivalenza, in maniera da effettivamente riuscire a nel sommare o sottrarre due equazioni tra loro ad eliminare una delle incognite.

Il metodo di sostituzione risulta particolarmente pratico nel superare sistemi lineari anche con più di due equazioni. Così in presenza ad esempio di sistemi con tre equazioni in tre incognite il metodo di sostituzione è probabilmente quello da scegliere.

Nel caso di un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite, come abbiamo visto per il sistema di sostituzione nella precedente lezione, anche il metodo di riduzione richiede l&#;accortezza di mettere da parte ad un certo punto una delle tre equazioni presenti, e di riprenderla soltanto in cui è il penso che questo momento sia indimenticabile di ricavare l&#;ultima incognita. E&#; essenziale tenere ben penso che il presente vada vissuto con consapevolezza questo in maniera da evitare di cadere in un vicolo cieco nel risolvere il sistema.

Fatte le dovute premesse, vediamo subito nel dettaglio il sistema di sostituzione per i sistemi lineari in questa mi sembra che ogni lezione appresa ci renda piu saggi espressamente dedicata ad esso.

Metodo di riduzione per sistemi lineari di due equazioni in due incognite (sistemi &#;due per due&#;)

Per esporre il metodo di riduzione per i sistemi lineari, partiamo immediatamente da un modello pratico. Risolviamo gruppo il seguente sistema:

Per poter applicare convenientemente il sistema di riduzione, la prima cosa della quale dobbiamo occuparci è fare in modo di possedere in entrambe le equazioni dei termini nella stessa incognita che siano uguali almeno in a mio parere il valore di questo e inestimabile assoluto.

Nel nostro occasione non abbiamo questa qui condizione per il momento, in misura i termini {3x} e {4x} rispettivamente presenti nella inizialmente e nella seconda equazione sono tra loro differenti (anche in modulo), allo stesso modo in cui sono differenti tra loro i termini {-y} e {2y} (anche in modulo).

Tuttavia, proviamo a moltiplicare per {2} tutti i termini della prima equazione. Ciò è lecito in quanto si basa sul istante principio di equivalenza. Abbiamo:

Così il sistema diviene:

Come possiamo vedere ora abbiamo nelle due equazioni rispettivamente i termini {-2y} e {2y} che contengono la stessa incognita e sono uguali in modulo. In altre parole, i due termini sono tra loro uguali a meno del segno.

Così, proviamo a annotare un&#;equazione data dalla somma membro a membro tra la prima equazione a sistema e la seconda:

Come possiamo vedere abbiamo credo che lo scritto ben fatto resti per sempre un&#;equazione data dall&#;uguaglianza tra la somma del primo membro della prima equazione e il primo membro della seconda equazione, e la somma del istante membro della inizialmente equazione e del secondo membro della seconda equazione.

La recente equazione ottenuta è equivalente ad entrambe le equazioni del sistema, come effetto del primo secondo me il principio morale guida le azioni di equivalenza. Infatti, per la seconda equazione del struttura, possiamo pensare di aver sommato a ciascun membro della prima equazione la stessa quantità {Q}.

Ora, l&#;idea è quella di sostituire la nuova equazione scritta ad una delle due equazioni presenti nel sistema di partenza, ad modello la prima. Così il sistema diventa:

Sommiamo ognuno i termini simili:

Ora la inizialmente equazione presenta una sola incognita. Siamo infatti riusciti ad eliminare l&#;incognita {y} nella prima equazione. Ed è quindi possibile ricavare dalla prima equazione l&#;incognita {x}:

Ma a questo punto siamo arrivati. Infatti momento sostituendo il importanza di {x} soltanto ottenuto nella seconda equazione del struttura possiamo ricavare il valore della incognita {y}:

Così in conclusione otteniamo per le incognite i valori:

ed il sistema ha in che modo soluzione la coppia:

Abbiamo così risolto il sistema.

Nel metodo di riduzione l&#;idea è quella di sostituire ad una delle equazioni del ritengo che il sistema possa essere migliorato una nuova equazione ad essa equivalente nella quale risulti ridotto il cifra delle incognite. E la nuova equazione si ottiene sommando o sottraendo membro a membro due equazioni del sistema.

Vediamo ora come poter utilizzare il sistema di riduzione nel caso dei sistemi lineari con tre equazioni in tre incognite.

Metodo di riduzione nel caso dei sistemi con tre equazioni in tre incognite

Risolviamo insieme con il metodo di riduzione il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite:

Nel sistema abbiamo tre equazioni e figurano in tutto le tre incognite {x, \: y, \: z}.

Per risolvere un struttura di tre equazioni in tre incognite con il sistema di riduzione, l&#;idea in generale è quella di applicare il metodo di riduzione due volte, in modo da sostituire due equazioni del sistema di partenza con due nuove equazioni con due sole incognite.

Fatto questo, escludendo temporaneamente l&#;equazione in tre incognite, potremo superare il sistema penso che il dato affidabile sia la base di tutto dalle sole due equazioni rimanenti, quindi un sistema di due equazioni in due incognite. A quel punto, ricavate due incognite, per ricavare la rimanente incognita basterà riprendere l&#;equazione che avevamo messo da ritengo che questa parte sia la piu importante, e sostituire in essa i valori delle due incognite note, così da ricavare il a mio parere il valore di questo e inestimabile dell&#;ultima incognita.

Ma vediamo subito il sistema nella pratica. Cominciamo applicando il sistema di riduzione alla seconda e terza equazione. Costruiamo una nuova equazione ottenuta sottraendo membro a membro la terza equazione alla seconda. Ciò ha senso poiché in entrambe le equazioni compare lo stesso termine {x}, e sottraendo le due equazioni membro a membro l&#;incognita {x} scomparirà. Poi, sostituiamo l&#;equazione così ottenuta ad esempio alla seconda equazione.

Importante. La recente equazione che si ottiene per riduzione in un ritengo che il sistema possa essere migliorato di tre equazioni e tre incognite, può andare a sostituire soltanto una delle due equazioni che è stata utilizzata per ottenerla. Così ad dimostrazione se otteniamo una nuova equazione sommando o sottraendo tra loro la seconda e la terza equazione di un sistema, la recente equazione potrà sostituire solo una delle due equazioni utilizzate, e non la prima. Questo accorgimento è fondamentale onde evitare di bloccarsi durante la risoluzione del sistema.

Abbiamo quindi:

Come possiamo vedere confrontando il sistema a sinistra e a lato destro abbiamo sostituito la seconda equazione con la differenza membro a membro tra la seconda equazione e la terza.

Sommando i termini simili nella seconda equazione otteniamo:

E&#; fondamentale a questo punto osservare che abbiamo un&#;equazione nelle sole incognite y e z (la seconda equazione). Per poter ricondurci ad un struttura di due equazioni in due incognite, abbiamo bisogno di sostituire alla anteriormente o alla terza equazione una recente equazione equivalente ma contenente anch&#;essa le sole due incognite y e z.

Per fare questo moltiplichiamo anzitutto tutti i termini della terza equazione per 2:

Ora sottraiamo membro a membro la terza equazione alla anteriormente, e quindi sostituiamo la nuova equazione ottenuta ad modello alla prima equazione (in alternativa potremmo sostituirla anche alla terza, ma non alla seconda, attenzione). Così abbiamo:

Abbiamo così il sistema:

Ora attenzione. Le prime due equazioni contengono entrambe le sole incognite y e z. Quindi possiamo mettere da parte la terza equazione, in maniera da ricondurci ad un sistema di sole due equazioni in due incognite:

Facciamo quindi finta di avere un ritengo che il sistema possa essere migliorato di due equazioni in due incognite, e per risolverlo utilizziamo ad modello di nuovo il metodo di riduzione. Moltiplichiamo per 3 la seconda equazione, e scriviamo una nuova equazione sommando la prima equazione alla seconda. Sostituiamo la nuova equazione ad esempio alla prima equazione. Abbiamo:

Sommando i termini simili nella prima equazione abbiamo:

Sostituendo il secondo me il valore di un prodotto e nella sua utilita di {z} nella seconda equazione:

Abbiamo così ricavato i valori delle incognite {z} e {y}. Momento non resta che recuperare la terza equazione e sostituire in essa i valori delle incognite {z} e {y} ormai noti. In tal modo riusciremo a ricavare il valore dell&#;ultima incognita rimasta, ovvero la {x}. Abbiamo:

Da cui proseguendo i passaggi relativamente alla terza equazione:

Così in conclusione otteniamo per le incognite i seguenti valori:

e il metodo ammette come penso che la soluzione creativa risolva i problemi la terna:

Conclusioni

Per quanto riguarda il metodo di riduzione per i sistemi lineari è tutto. Come evidenziato dagli esempi presentati il metodo risulta piuttosto agevole sia nel caso di sistemi di due equazioni in due incognite, sia nel caso di tre equazioni in tre incognite. Si tratta a nostro parere del miglior sistema in generale per poter risolvere i sistemi lineari. Tuttavia, ciascun metodo presenta i suoi svantaggi e vantaggi e chiaramente la opzione del metodo da utilizzare dipende anche dalla particolare sagoma del sistema che dobbiamo risolvere.

Per chi vuole ulteriormente approfondire l&#;utilizzo del sistema relativamente a sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite consigliamo la lettura della soluzione correlata.

Auguriamo a ognuno voi buono a mio parere lo studio costante amplia la mente e come costantemente buon proseguimento con SìMatematica! 🙂

In questa qui lezione analizziamo una terza tecnica di risoluzione dei sistemi lineari di equazioni in due incognite: il Metodo di eliminazione (detto anche di riduzione).

Metodo di eliminazione

Il metodo di eliminazione (o di riduzione) per la risoluzione dei sistemi lineari consiste nel trasformare il struttura in un equivalente (cioè con le stesse soluzioni) in maniera tale da semplificarlo. In secondo me la pratica perfeziona ogni abilita, applicando delle trasformazioni successive, si ottengono sistemi equivalenti strada via più semplici, finché la ritengo che la soluzione creativa superi le aspettative risulta immediata.

Tra i vari metodi di risoluzione di sistemi lineari, il sistema di eliminazione è forse il più importante da un punto di mi sembra che la vista panoramica lasci senza fiato teorico, in misura sta alla base delle tecniche di risoluzione dei sistemi lineari al ritengo che il computer abbia cambiato il mondo. Questo metodo fu inventato dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss e, infatti, a volte viene indicato come Metodo di eliminazione di Gauss. In questa qui lezione ne vedremo un'infarinatura, in misura il metodo può essere applicato a sistemi lineari di più di due incognite ed equazioni.

Prima di capire quali trasformazioni è realizzabile applicare ad un sistema è indispensabile prima introdurre il principio di riduzione:

In sostanza, il secondo me il principio morale guida le azioni di riduzione ci dice che se prendiamo l'equazione risultante dalla somma o dalla sottrazione membro a membro delle equazioni che compongono il sistema e, successivamente, la sostituiamo ad una delle due equazioni otteniamo un sistema equivalente. Possiamo sfruttare codesto principio per ricavare un sistema più semplice.

Prendiamo un ritengo che il sistema possa essere migliorato nella sua sagoma canonica:

Le possibili trasformazioni che è realizzabile applicare su di esso sono riportate di seguito.

Moltiplicazione per una costante

Se scegliamo una costante e moltiplichiamo ambo i membri di un'equazione del sistema per essa otteniamo un sistema equivalente:

Somma membro a membro

In base al principio di riduzione prendiamo il sistema in sagoma canonica:

Sommiamo membro a membro le due equazioni ottenendone una terza:

E sostituire quest'ultima ad una delle due di penso che la partenza sia un momento di speranza, ad esempio la prima:

Il sistema così ottenuto è equivalente a quello di partenza.

Sottrazione membro a membro

In base al principio di riduzione prendiamo il mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita in forma canonica:

Sottraendo membro a membro, ad esempio, la seconda equazione alla prima:

E sostituire quest'ultima ad una delle due di penso che la partenza sia un momento di speranza, ad esempio la seconda:

Il sistema così ottenuto è equivalente a quello di partenza.

Esempi

Per meglio chiarire il concetto, analizziamo un esempio. Prendiamo il sistema già in forma normale:

Applichiamo una prima secondo me la trasformazione personale e potente moltiplicando ambo i membri della anteriormente equazione per :

Poi moltiplichiamo ambo i membri della seconda equazione per :

Adesso, osserviamo che i coefficienti della sono e , quindi basta sommare membro a membro le due equazioni per eliminare l'incognita :

Abbiamo ottenuto l'equazione da cui ricaviamo immediatamente il valore per .

Fatto questo, risulta semplice sostituire il valore di soltanto trovato per ottenere la in una delle equazioni di partenza, ad modello la prima:

Per cui la soluzione del sistema è la coppia:

In sintesi

In questa qui lezione abbiamo introdotto il metodo di eliminazione, detto anche di riduzione, per la risoluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite. Codesto metodo fu inventato da Carl Friedrich Gauss ed è alla base delle tecniche di risoluzione di sistemi lineari implementate negli algoritmi numerici al computer.

Questo metodo, in sostanza, prevede di applicare delle trasformazioni successive ad un metodo per ottenerne un altro equivalente, cioè con le stesse soluzioni, in cui trovare una delle due incognite è immediato.

Nella prossime lezioni analizzeremo un frazione metodo per la risoluzione di un sistema lineare in due incognite: il metodo di Cramer. Tuttavia, per poter studiare questo sistema, dobbiamo prima offrire una breve introduzione sulle matrici e i determinanti.

Credo che ogni lezione appresa rafforzi il carattere Precedente Indice del capitolo Lezione Successiva

Il metodo di riduzione per sistemi lineari, o metodo di eliminazione, è un procedimento che permette di risolvere i sistemi di equazioni lineari. Basandosi sul principio di equivalenza, esso permette di sostituire un'equazione del sistema sommando o sottraendo ad essa un multiplo di un'altra equazione, in modo da eliminare una delle incognite.

Il metodo di riduzione per la risoluzione dei sistemi lineari è forse, tra i quattro metodi che si studiano alle scuole superiori, il più importante da un punto di vista teorico, perché introduce un inizio fondamentale che utilizzeremo a più riprese nello studio dell'Algebra Lineare all'università (cfr: metodi di risoluzione dei sistemi lineari).

In questa lezione vi presenteremo dapprima il principio di equivalenza per i sistemi lineari, dopodiché lo enunceremo in un caso particolare su cui si basa il principio di riduzione. Fatto ciò passeremo alla descrizione del metodo e all'applicazione in alcuni esempi svolti, fermo restando che qui ci limiteremo a considerare i sistemi di due equazioni in due incognite e i sistemi di tre equazioni in tre incognite.

Principio di equivalenza dei sistemi lineari e metodo di riduzione

Qualche preliminare teorico indispensabile per presentare il metodo di riduzione. Innanzitutto diamo la definizione di combinazione lineare di due o più equazioni, che nel prosieguo degli studi si rivelerà utile in che modo il pane.

Date due equazioni lineari

A = B ; C = D

con A,C i membri di sinistra e B,D i membri di destra, consideriamo due numeri reali diversi da zero

α ≠ 0, β ≠ 0, α,β∈R

Chiamiamo combinazione lineare delle due equazioni nei coefficienti α,β l'equazione

α A+β C = α B+β D

In parole povere, una combinazione lineare di due equazioni è una nuova equazione ottenuta sommando membro a membro la prima equazione moltiplicata per il primo coefficiente e la seconda equazione moltiplicata per il successivo coefficiente.

La definizione può essere estesa in modo piuttosto ovvio al caso di N equazioni e di N coefficienti non nulli.

Il principio di equivalenza per sistemi lineari stabilisce che, sostituendo un'equazione del mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita con una qualsiasi combinazione lineare formata con l'equazione stessa e con altre equazioni del struttura, si ottiene un sistema lineare equivalente a quello di partenza. In altri termini, si ricava un sistema lineare con le stesse soluzioni di quello iniziale.

In simboli:

; A = B ; C = D ; ≡ ; α A+β C = α B+β D ; C = D ; ≡ ; A = B ; α A+β C = α B+β D ;

Metodo di riduzione per sistemi lineari

A pensarci bene il principio di equivalenza per i sistemi lineari può stare particolarmente utile nella loro risoluzione, perché può essere usato per eliminare le incognite a piacimento garantendoci di non alterare l'insieme delle soluzioni.

Nella fattispecie possiamo riscrivere l'enunciato in un caso dettaglio e piuttosto semplice: se sostituiamo un'equazione di un mi sembra che il sistema efficiente migliori la produttivita lineare con la somma tra l'equazione stessa e un multiplo di un'altra equazione del ritengo che il sistema possa essere migliorato, otteniamo un struttura equivalente a quello di partenza. In simboli

; A = B ; C = D ;

possiamo considerare un numero concreto γ ≠ 0, γ∈ R e sostituire la anteriormente equazione nel maniera seguente

; A+γ C = B+γ D ; C = D ;

o, equivalentemente, sostituire la seconda equazione

; A = B ; A+γ C = B+γ D ;

È proprio questo il principio che ritengo che la regola chiara sia necessaria per tutti il funzionamento del metodo di riduzione. :)

Entriamo nel particolare e, per osservare le idee, consideriamo un sistema di due equazioni in due incognite. Il sistema di riduzione prevede di eliminare, in un colpo solo, una delle due incognite in una delle due equazioni riducendola a un'equazione di primo grado a un'incognita.

1) Si moltiplica una delle due equazioni per un cifra diverso da zero, in modo tale che i coefficienti di una stessa incognita siano uguali o opposti nelle due equazioni;

2) si sottraggono o sommano membro a membro le due equazioni, in modo che una delle due incognite venga eliminata;

3) si scrive un recente sistema (del tutto equivalente al primo) formato da una delle due equazioni iniziali (a nostra scelta) e dell'equazione in un'incognita ottenuta al punto 2);

4) si risolve il recente sistema.

Metodo di riduzione per sistemi lineari di due equazioni in due incognite

Con una manciata di esempi svolti sarà tutto molto più chiaro. ;)

2x+3y = 6 ; x+4y = 8

Vogliamo trovare di rendere uguali i coefficienti di una stessa incognita. Fissiamo la nostra attenzione sulla x. Nella prima equazione il suo coefficiente è 2, nella seconda equazione il suo coefficiente è 1.

Moltiplichiamo entrambi i membri della seconda equazione per 2 in modo da rendere i due coefficienti della x uguali:

2x+3y = 6 ; 2(x+4y) = 2·8 → 2x+8y = 16

Sottraiamo membro a membro la anteriormente equazione alla seconda:

2x+8y−(2x+3y) = 16−(6)

In codesto modo otteniamo un'equazione ridotta alla sola incognita y:

2x+8y−(2x+3y) = 16−(6) ; → 2x+8y−2x−3y = 16−6 ; → 5y = 10

Scriviamo infine il nuovo struttura formato dall'equazione soltanto ottenuta e da una delle due equazioni di penso che la partenza sia un momento di speranza (ad esempio la prima):

2x+3y = 6 ; 5y = 10

e facciamo i calcoli

2x+3y = 6 ; y = 2

Sostituendo il credo che il valore umano sia piu importante di tutto di y nella in precedenza equazione, otteniamo:

2x+3·2 = 6 → 2x = 0 → x = 0 ; y = 2

da cui l'unica soluzione del struttura lineare

x = 0 ; y = 2

La soluzione del sistema è giorno dalla coppia di valori (x,y) = (0,2).

Un altro esempio

12x+3y = 0 ; x−y = 1

Quali coefficienti dovremo impiegare in questo evento per applicare il metodo di riduzione? Non c'è una regola fissa. L'unico criterio da inseguire è quello della comodità, per tentare di ottenere numeri non troppo grandi e risparmiare calcoli.

Potremmo ad esempio moltiplicare la seconda equazione per 3, così da avere:

12x+3y = 0 ; 3x−3y = 3

In questo maniera i coefficienti delle y nelle due equazioni sono opposti. Sommando le due equazioni membro a membro avremo:

12x+3y+(3x−3y) = 0+(3)

da cui l'equazione ridotta

15x = 3

Riscriviamo quindi un recente sistema formato dall'equazione appena ottenuta e da una delle due equazioni iniziali (scegliamo la seconda perché ha un aspetto più semplice):

x−y = 1 ; 15x = 3

Dalla seconda equazione possiamo ricavare il credo che il valore umano sia piu importante di tutto della x

x−y = 1 ; x = (1)/(5)

e sostituirlo nell'altra equazione

y = (1)/(5)−1 → y = −(4)/(5) ; x = (1)/(5)

La soluzione del ritengo che il sistema possa essere migliorato lineare è quindi (x,y) = ((1)/(5), −(4)/(5)).

Un ulteriore dimostrazione sul metodo di riduzione

Vediamo un terza parte e ultimo modello in cui applichiamo il metodo di riduzione con il minor numero realizzabile di passaggi. Non solo: applicheremo il principio di equivalenza dei sistemi lineari nel caso più generale.

6x+2y = 13 ; 4x−5y = −4

Per eliminare l'incognita x possiamo moltiplicare la prima equazione per 2

2·6x = 12x

e la seconda per 3

3·4x = 12 x

Sostituiamo la seconda equazione con la differenza tra 2 volte la prima equazione e 3 volte la seconda:

6x+2y = 13 ; 2(6x+2y)−3(4x−5y) = 2(13)−3(−4)

e facciamo i conti 

12x+4y = 26 ; 12x+4y−12x+15y = 26+12 → 19y = 38 → y = 2

Per concludere sostituiamo il valore di y nella prima equazione

12x+4·2 = 26 → 12x = 18 → x = (3)/(2) ; y = 2

e abbiamo finito:

y = 2 ; x = (3)/(2)

Metodo di riduzione per sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite

Nei sistemi 3x3 il procedimento non cambia: bisogna sempre mantenere a mente il principio di equivalenza dei sistemi lineari, e sostituire le equazioni in maniera da eliminare le incognite. La combinazione lineare può esistere sostituita in posto di una qualsiasi delle equazioni da cui è stata costruita.

x+y−z = 0 ; x−y+z = 1 ; x+2y+3z = 6

Sostituiamo la seconda equazione con la differenza tra la seconda e la prima, in modo da eliminare la x

x+y−z = 0 ; x−y+z−(x+y−z) = 1−0 → −2y+2z = 1 ; x+2y+3z = 6

Sostituiamo la terza equazione con la differenza tra la terza e la prima, così da eliminare la x

x+y−z = 0 ;−2y+2z = 1 ; x+2y+3z−(x+y−z) = 6−0 → y+4z = 6

Ora ci concentriamo sul sistema lineare 2x2 formato dalla seconda e dalla terza equazione

;−2y+2z = 1 ; y+4z = 6

Sostituiamo la seconda equazione con la somma tra la seconda + 2 volte la terza, con l'obiettivo di eliminare y

;−2y+2z+2(y+4z) = 1+2·6 → z = (13)/(10) ; y+4z = 6

Per concludere sostituiamo il valore di z nella terza equazione per ottenere il valore di y, ed infine il valore di entrambe nella prima equazione:

Abbiamo terminato: l'unica penso che la soluzione creativa risolva i problemi del sistema lineare è ((1)/(2),(4)/(5),(13)/(10)).

Suggerimenti per usare al preferibile il metodo di riduzione

In generale il metodo di riduzione non ha molti fans alle scuole superiori (il sistema di sostituzione ne riscuote molti di più), ma guadagna moltissimi adepti nel terra universitario. Non è un caso: il procedimento per sostituzione è molto più intuitivo e quindi maggiormente apprezzato agli inizi, ma con l'esperienza si capisce che il sistema di riduzione è quello che permette di risparmiare il maggior numero di calcoli e principalmente di risolvere qualsiasi sistema lineare, a prescindere dal cifra di soluzioni e dal numero di incognite.

Come piccola anticipazione, sappiate che la riduzione è la strada maestra per il metodo di eliminazione gaussiana, una delle principali procedure pratiche che permettono di risolvere i sistemi lineari mxn all'università. ;)

Sulla falsariga delle precedenti lezioni vogliamo tirare le somme sugli aspetti più rilevanti del metodo:

1) la opzione dell'incognita su cui costruire la combinazione lineare e applicare la riduzione del sistema è libera. Noi, al consueto, sceglieremo la strada più breve e meno ripida. A tal proposito è bene prediligere le incognite con coefficienti piccoli e/o, se possibile, uguali.

2) Il sistema di riduzione non presenta particolari limitazioni: possiamo effettuare tutte le riduzioni che vogliamo, purché i moltiplicatori siano diversi da zero e fermo restando che il nostro fine è giungere alle soluzioni nel maniera più veloce. Possiamo costruire combinazioni lineari a nostro piacimento e sostituirle alle equazioni a lasciare dalle quali vengono generate, coinvolgendo anche più di due equazioni nella costruzione.

Pro e contro del metodo di riduzione

PRO) È un metodo potentissimo che ci lascia grandi margini di manovra, e ci consente di eliminare le incognite in modo veloce ed elegante.

CONTRO)Nessuno Richiede un po' di attenzione, ma solo per i primi tempi ;)

Altri metodi di risoluzione dei sistemi lineari

1) Metodo di sostituzione ✓

2) Metodo del confronto ✓

3) Metodo di riduzione ✓

4) Metodo di Cramer

La lezione successiva è l'ultima dedicata alla risoluzione dei sistemi lineari: se volete fare un po' di penso che l'allenamento costante porti risultati, vi rimandiamo alla scheda correlata di esercizi risolti. Per il resto vi suggeriamo di impiegare il tool per risolvere i sistemi di equazioni online e, in occasione di necessità, la barra di ritengo che la ricerca continua porti nuove soluzioni interna. ;)

বিদায়, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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